Suponha que |f(x)| <= x^2 para todo x . Prove que f é contínua em 0 .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe δ , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Passo 2

Estamos avaliando a continuidade no ponto p = 0

Como f x ≤ x 2 então f 0 ≤ 0 .

Como o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero: f 0 ≥ 0

Então:

0 ≤ f 0 ≤ 0

Desse modo, f 0 = 0

Assim, para p = 0 , a função é contínua em p se:

x < δ   ⇒ f x - 0 < ϵ

Passo 3

Tomando δ = ϵ

x < ϵ

x 2 < ϵ

Como f x ≤ x 2 temos:

f x ≤ x 2 < ϵ

f x < ϵ

Assim, provamos que x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ e consequentemente que f é contínua em p = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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