9-14 Determine onde f é contínua.

13-f(x) = arcsen(1/x) / x

Passo 1

Como a função arco seno é a inversa do seno, a imagem desta última será o domínio da primeira. Assim, devemos ter:

1 x   ϵ [ - 1,1 ]

Isto é,

- 1 ≤ 1 x ≤ 1

- 1 ≤ 1 x

1 x + 1   ≥ 0

x + 1 x ≥ 0

Galera, o único jeito de resolver isso é estudando o sinal dessa fração.

Igualando nosso numerador a zero, temos:

x + 1 = 0

x = - 1

E, igualando nosso denominador a zero, temos:

x = 0

Agora, vamos fazer aquele quadro de sinais maroto com os seguintes intervalos:

x ≤ - 1 ,   - 1 ≤ x < 0 ,   x > 0

Logo, o intervalo que nós queremos é esse: - ∞ , - 1   U   ( 0 ,   + ∞ )

Acabou ???? Só que não !!!

Ainda temos isso aqui:

1 ≤ 1 x

1 x - 1   ≤ 0

1 - x x ≤ 0

Galera, o único jeito de resolver isso é estudando o sinal dessa fração.

Igualando o nosso numerador a zero, temos:

1 - x = 0

x = 1

Igualando o nosso denominador a zero, temos:

x = 0

Agora, vamos fazer aquele quadro de sinais maroto com os seguintes intervalos:

x < 0 ,   0 < x ≤ 1 ,   x ≥ 1

Logo, o intervalo que nós queremos é esse: - ∞ , 0   U   ( 1 ,   + ∞ )

Fazendo a intercessão dos dois intervalos:

- ∞ , - 1   U   ( 0 ,   + ∞ )

- ∞ , 0   U   ( 1 ,   + ∞ )

Temos que a função é contínua nesse intervalo:

x   ϵ   - ∞ , - 1   U   [ 1 ,   + ∞ )

Agora , você pode respirar aliviado porque finalmente acabou!!!

Até a próxima !!!

Resposta

x   ϵ   - ∞ , - 1   U   [ 1 ,   + ∞ )

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