Enunciado

Suponha que os três planos coordenados sejam todos espelhados e que um raio de luz dado pelo vetor a = < a 1 , a 2 , a 3 > atinja primeiro o plano x z , como mostrado na figura. Use o fato de os ângulos de incidência e de reflexão serem iguais para mostrar que a direção do raio refletido é dada por b = < a 1 , - a 2 , a 3 > . Deduza que, após ser refletido em todos os três espelhos perpendiculares, o raio resultante é paralelo ao raio inicial. (Cientistas norte-americanos usaram esse princípio, juntamente com um feixe de laser e um conjunto de espelhos em cantoneira na Lua, para calcular de modo preciso a distância da Terra à Lua.)

Passo 1

Observe que quando o vetor a atinge um plano e reflete, ele conserva duas das três direções. Quando um vetor com três componentes atinge um plano, o componente paralelo à reta normal terá módulo igual mas sinal oposto. Assim, vamos analisar o que acontece com os vetores desenhados:

Vetor a atinge o plano x z e reflete o vetor b = ( a 1 , - a 2 , a 3 )

O vetor b atinge o plano y z e reflete o vetor c = ( - a 1 , - a 2 , a 3 )

O vetor c atinge o plano x y e reflete o vetor d = ( - a 1 , - a 2 , - a 3 )

d = - a 1 , - a 2 , - a 3 = - 1 a 1 , a 2 , a 3 = - 1 a

Assim, concluímos que o vetor d é um múltiplo do vetor a , portanto eles são paralelos, porém de direções opostas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar o vetor v → , ortogonal ao eixo O y , v → . v → 1 = 8 e v → . v → 2 = - 3 , sendo v → 1 = ( 3,1 , - 2 ) e v → 2 = ( - 1,1 , 1 ) .
Dados os pontos A 4 , 0 , - 1 ,B ( 2 , - 2,1 ) e C ( 1,3 , 2 ) e os vetores u → = ( 2,1 , 1 ) e v → = ( - 1 , - 2,3 ) , obter o vetor x → tal que: B C - . v → x → = u → . v → v → - 3 x →
Determinar o vetor v → do espaço, sabendo que v → = 5 , v → é ortogonal ao eixo O x , v → . w → = 6 e w → = i → + 2 j → .
Dados os vetores u → = ( 1,2 , - 3 ) , v → = 2,0 , - 1 e w → = ( 3,1 , 0 ) , determinar o vetor x → tal que x → . u → = - 16 , x → . v → = 0 e x → . w → = 3 .
Dados os vetores u → = ( 2 , - 3 , - 1 ) e v → = ( 1 , - 1,4 ) c) u → + v → * ( u → - v → )