Enunciado

Mostre que T n e f têm as mesmas derivadas em a até a ordem n .

Passo 1

Beleza, pessoal? Primeiro, vamos escrever T n :

T n x = f a + f ' a 1 ! x - a + … + f n a n ! x - a n

Passo 2

Agora, vamos tomar a m -ésima derivada de T n , sendo 0 ≤ m ≤ n :

T n m x = m ! f m a m ! + m + 1 m … 2 f m + 1 a m + 1 ! x - a 1 + … + n n - 1 … n - m + 1 f n a n ! x - a n - m  

Passo 3

Show! Se aplicarmos x = a na derivada, veremos que todos os termos, exceto o primeiro, vão se anular:

T n m a = m ! f m a m ! + m + 1 m … 2 f m + 1 a m + 1 ! a - a 1 + … + n n - 1 … n - m + 1 f n a n ! a - a n - m  

T n m a = m ! f m a m ! + 0 + … + 0

  T n m a = f m a

Como queríamos demonstrar, né galera?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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