Enunciado

Suponha que a velocidade de uma formiga correndo ao longo da beirada de um muro seja modelada pela função

v t =   5 t ,     0 ≤ t < 1 6 t - 1 t ,     1 ≤ t ≤ 2

onde t está em segundos e v está em centímetros por segundo (cm/s). Calcule o(s) instante(s) em que a formiga está a 4 cm de sua posição inicial.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Vamos começar entendendo o que a questão quer.

Tá pedindo o instante em que a formiga está a 4 cm de sua posição inicial. Eu quero saber então em que segundo ( t ) a formiga está a 4 cm da sua posição s ( 0 ) .

Vamos começar achando a função posição. A gente já sabe que:

s t = ∫ v t   d t

Vamos integrar as duas sentenças então...

Passo 2

∫ 5 t   d t = 5 t 2 2

∫ 6 t - 1 t   d t = 4 t 3 2 - ln ⁡ t

Considerando s 0 = 0 , temos:

s t = 5 t 2 2 ,     0 ≤ t ≤ 1 4 t 3 2 - ln ⁡ t ,     1 ≤ t ≤ 2

O problema quer resolver:

s t = 4

Vamos ver então...

Passo 3

Vamos ver pra primeira parte:

s t = 5 t 2 2 = 4

5 t 2 = 8 → t 2 = 8 5

t = 8 5 ≈ 1,26

  ( n ã o   e n c a i x a   n o   i n t e r v a l o )

E pra outra parte da função...

4 t 3 2 - ln ⁡ t = 4

Isso aqui acontece quando t = 1 , olha só:

4 1 3 / 2 - ln ⁡ 1 = 4

4 - 0 = 4

E essa então é a única solução.

No instante t = 1   s a formiga estará a 4 cm do seu ponto inicial😉

Resposta

t = 1   s

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