Enunciado

A tabela indica a altura com o passar do tempo de um pinheiro típico árvore cultivada para madeira serrada em um site gerenciado.

Se H ( t ) for a altura da árvore após t anos, construa uma tabela dos valores estimados para H ' e esboce seu gráfico.

Passo 1

E aí, bora resolver esse problema?! O enunciado nos dá a seguinte tabela:

Aqui temos a altura de uma árvore ao longo dos anos. O que temos que fazer aqui é construir uma tabela estimada pra H ' ( t ) , considerando que H ( t ) descreve a altura da árvore em função da sua idade.

Beleza, então H ' t será a variação da altura de acordo com os anos e pra fazer a estimativa vamos fazer o seguinte cálculo:

H ' t = ∆ H ( t ) ∆ t

Vamos pegar sempre dois pontos consecutivos, como por exemplo:

H ' 14 = H 21 - H ( 14 ) 21 - 14

Pra calcular os pontos que não estão na extremidade vamos tirar uma média entre a aproximação por dois lados, vou mostrar com o H ' ( 21 ) :

H 21 - H 14 21 - 14 = x

H 28 - H ( 2 1 ) 18 - 21 = y

Então H ' 21 será a média entre x e y . Sacou?!

Com a tabela em mãos vamos esboçar o gráfico de H ' t . Essa parte é muito simples, o eixo y é o H ' e o eixo x o tempo t . Só precisamos jogar os dados no gráfico e ligar os pontos!

Passo 2

Vamos começar pelos pontos das extremidades que são mais simples:

H ' 14 = H 21 - H ( 14 ) 21 - 14

H ' ( 14 ) = 54 - 41 7 = 1,86

Agora H ' 49 :

H ' ( 49 ) = 83 - 78 49 - 42 = 0,71

No numerador a unidade é p é s e no denominador a n o s , então a unidade de H ' é p é s / a n o s .

Passo 3

Agora vamos para os pontos do meio:

H 14 - H ( 21 ) 14 - 21

54 - 41 7 = 13 7

Agora pegamos H 28 e H 21 :

H 28 - H 21 28 - 21

64 - 54 7 = 10 7

A média dos dois é:

H ' 21 = 13 / 7 + 10 / 7 2 = 1,64

A continha é bem simples e vai se repetindo, fazendo o mesmo com todos os outros anos a gente encontra:

Passo 4

Show de bola, a gente pega pontos de H ( t ) e H ' ( t ) para formar gráficos:

Repara que nos primeiros anos H t tem uma inclinação maior, portanto a sua derivada é maior e com o passar dos anos a inclinação só vai diminuindo e com isso H ' ' t diminui!

Resposta

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