Enunciado

Use um computador para traçar o gráfico de f   e para achar f '   e   f ' ' . Use estes gráficos para estimar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

A raiz real da função é:

f x = 0 → x = 0

Passo 2

Agora vamos para a primeira derivada:

f ' x = 1 - 2 x x 4 + 1

As raízes reais de f ' ( x ) são: x ≈ 0,54 ;           x = 1 ;    

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Crescente:

f ' x > 0 → 1 - 2 x x 4 + 1 > 0

f ' x > 0 → x ∈ - ∞ ; 0,54 ∪ ( 1 ; ∞ )

Decrescente:

f ' x < 0 → 1 - 2 x x 4 + 1 < 0

f ' x < 0 → x   ∈ ( 0,54 ; 1 )

Passo 3

Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 6 x 4 - 2 x 4 + 1 2

Suas raízes valem: x = - 1 3 4 ≈ - 0,76 ;           x = 1 3 4 ≈ 0,76 ;  

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x ≈ 0,54 ;           x = 1 ;    

      x ≈ 0,54 → f ' ' 0,54 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 1 → f ' ' 1 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

Passo 4

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes e as assíntotas podem ajudar a identificar:

f ' ' x = 6 x 4 - 2 x 4 + 1 2

Suas raízes valem: x = - 1 3 4 ≈ - 0,76 ;           x = 1 3 4 ≈ 0,76 ;  

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ; - 0,7 6 ∪ ( 0,76 ; ∞ )

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 0,7 6 ; 0,76  

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ ; - 0,76 ∪ 0,76 ; ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 0,76 ; 0,76    

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 0,7 6 ;         x = 0,7 6 ;

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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