Enunciado

Use um computador para traçar o gráfico de f   e para achar f '   e   f ' ' . Use estes gráficos para estimar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = 3 3 + 2 sin ⁡ x

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

Não há raízes reais.

Passo 2

Agora vamos para a primeira derivada:

f ' x = - 6 cos ⁡ x 3 + 2 sin ⁡ x 2

As raízes reais de f ' ( x ) são: x = π n - π 2 ,       n ∈ Z           →       x ≈ 3,14 n - 1,57    

Para simplificar, vamos fazer no intervalo ( - 2 π , 2 π )

x = - 3 π 2 ≈ - 4,71 ;           x = - π 2 ≈ - 1,57 ;       x =   π 2 ≈ 1,57 ;               x = 3 π 2 ≈ 4,71

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Crescente:

f ' x > 0 → - 6 cos ⁡ x 3 + 2 sin ⁡ x 2 > 0

f ' x > 0 → x ∈ - 3 π 2 ; - π 2 ∪ π 2 ; 3 π 2

Decrescente:

f ' x < 0 → - 6 cos ⁡ x 3 + 2 sin ⁡ x 2 < 0

f ' x < 0 → x   ∈ - 2 π ; - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

Passo 3

Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 6 3 + 2 sin ⁡ x sin ⁡ x + 4 cos 2 ⁡ x 3 + 2 sin ⁡ x 3

Suas raízes valem: x ≈ 2 3,14 n - 1,06 ;           x ≈ 2 3,14 n - 0,51             n ∈ Z ;  

Para simplificar, vamos fazer no intervalo ( - 2 π , 2 π )

x ≈ - 2,12 ;           x ≈ - 1,02 ;       x ≈ 4,16 ;               x ≈ 5,26

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x = - 3 π 2 ≈ - 4,71 ;           x = - π 2 ≈ - 1,57 ;       x =   π 2 ≈ 1,57 ;               x = 3 π 2 ≈ 4,71

      x ≈ - 4,71 → f ' ' - 4,71 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

x ≈ - 1,57 → f ' ' - 1,57 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 1,57 → f ' ' 1,57 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

      x ≈ 4,71 → f ' ' 4,71 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

Passo 4

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes e as assíntotas podem ajudar a identificar:

f ' ' x = 6 3 + 2 sin ⁡ x sin ⁡ x + 4 cos 2 ⁡ x 3 + 2 sin ⁡ x 3

Suas raízes valem: x ≈ 2 3,14 n - 1,06 ;           x ≈ 2 3,14 n - 0,51             n ∈ Z ;  

Para simplificar, vamos fazer no intervalo ( - 2 π , 2 π )

x ≈ - 2,12 ;           x ≈ - 1,02 ;       x ≈ 4,16 ;               x ≈ 5,26

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ - 2 π ; - 2,12 ∪ ( - 1,02 ; 4,16 ) ∪ 5,26,2 π

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 2,12 ; - 1,02   ∪ 4,16 ; 5,26

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - 2 π ; - 2,12 ∪ ( - 1,02 ; 4,16 ) ∪ 5,26,2 π

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 2,12 ; - 1,02   ∪ 4,16 ; 5,26    

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 2,12 ;         x ≈ - 1,02 ;               x ≈ 4,16 ;         x ≈ 5,26

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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