Enunciado

Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar gráficos de f '   e   f ' ' para estivar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = - 2 x 6 + 5 x 5 + 140 x 3 - 110 x 2

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = - 2 x 6 + 5 x 5 + 140 x 3 - 110 x 2

Vamos dar um ZOOM perto do zero:

As raízes reais da função são:

f x = 0 → x = 0 ;     x ≈ 0,77     e   x ≈ 4,92

Passo 2

Agora vamos para a primeira derivada:

f ' x = - 12 x 5 + 25 x 4 + 420 x 2 - 220 x

As raízes reais de f ' ( x ) são: x = 0 ;         x ≈ 0,518 ;           x ≈ 3,99

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Crescente:

f ' x > 0 → - 12 x 5 + 25 x 4 + 420 x 2 - 220 x > 0

f ' x > 0 → x ∈ - ∞ ; 0 ∪ ( 0,518 ; 4 )

Decrescente:

f ' x < 0 → - 12 x 5 + 25 x 4 + 420 x 2 - 220 x < 0

f ' x < 0 → x   ∈ ( 0 ; 0,518 ) ∪     ( 4 , ∞ )

Passo 3

Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = - 60 x 4 + 100 x 3 + 840 x - 220

Suas raizes valem: x ≈ 0,26 ;           x ≈ 3,05

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x = 0 ;         x ≈ 0,518 ;           x ≈ 3,99

x ≈ 0 → f ' ' 0 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o    

      x ≈ 0,518 → f ' ' 0,518 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

x ≈ 3,99 → f ' ' ( 3,99 ) < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o    

Passo 4

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes podem ajudar a identificar:

f ' ' x = - 60 x 4 + 100 x 3 + 840 x - 220

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ 0,26 ; 3,05

f ' ' x < 0 → x   ∈ - ∞ , 0,26   ∪ ( 3,05 ; ∞ )

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ 0,26 ; 3,05

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - ∞ , 0,26   ∪ ( 3,05 ; ∞ )  

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 0,26 ; x = 3,05

Agora vamos ver novamente o gráfico de f(x) para confirmar todos os valores encontrados:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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