Enunciado

A frequência da vibração de uma corda de violino é dada por

f = 1 2 L ⋅ T ρ

Onde L é o comprimento da corda; T , sua tensão; ρ , sua densidade linear.

  1. Encontre a taxa de variação da frequência em relação:
    1. Ao comprimento (quando T   e   ρ são constantes)
    2. À tensão (quando L   e   ρ são constantes)
    3. À densidade linear (quando T   e   L são constantes)
  2. A intensidade de uma nota (quão alta ou baixa soa a nota) é determinada pela frequência f . Quanto maior a frequência, maior a intensidade. Use os sinais das derivadas da parte (a) para determinar o que acontece com a intensidade de uma nota
  1. Quando o comprimento de corda é decrescido colocando-se o dedo sobre ela, de forma que uma porção menor da corda vibre.
  2. Quando a tensão é aumentada girando-se a cravelha (pino de afinação)
  3. Quando a densidade linear é aumentada, mudando-se a corda.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá a fórmula pra calcular a frequência da vibração de uma corda de violino:

f = 1 2 L ⋅ T ρ

Aqui L é o comprimento da corda, T , sua tensão; ρ , sua densidade linear. Sabendo disso precisamos calcular, na letra (a) a taxa de variação da frequência em relação a L ,   T e ρ .

Pra facilitar o cálculo dessas derivadas, vamos reescrever f :

f = 1 2 L - 1 T 1 2 ρ - 1 2

  1. d f / d L
  2. d f d L = - 1 2 L 2 T ρ

  3. d f / d T
  4. d f d T = 1 2 L 1 ρ 1 2 T - 1 2 = 1 4 L 1 ρ ⋅ T

  5. d f / d ρ

d f d ρ = 1 2 L T - 1 2 ρ - 3 2 = - 1 4 L T ρ 3  

Passo 2

Sabendo que a intensidade de uma nota é proporcional a frequência f devemos prever o que acontece quando:

  1. O comprimento de corda diminui colocando-se o dedo sobre ela, de forma que uma porção menor da corda vibre.
  2. Temos:

    d f d L = - 1 2 L 2 T ρ

    Então ao diminuir L teremos que d F / d L irá diminuir (por conta do sinal negativo), logo a frequência irá diminuir então, a intensidade da nota será menor.

  3. Quando a tensão é aumentada girando-se a cravelha, ou seja, aumentando a tensão T :
  4. d f d T = 1 4 L 1 ρ T

    Ao aumentarmos a tensão d f / d T diminui, porém, d f / d T possui um sinal positivo, então um aumento na tensão irá provocar uma variação positiva na frequência da nota, ou seja, a frequência aumentará e por conseguinte, a intensidade da nota será maior.

  5. Quando a densidade linear é aumentada, mudando-se a corda:

d f d ρ = - 1 4 L T ρ 3

Ao aumentar     ρ , teremos que d f / d ρ irá diminuir (por conta do sinal negativo), então a frequência irá diminuir, por conseguinte, a intensidade da nota será menor.

Prontinhoo!

Resposta

    1. d f d L = - 1 2 L 2 ⋅ T ρ

    2. d f d T = 1 4 L ⋅ 1 ρ ⋅ T

    d f d ρ = - 1 4 L T ρ 3

  1. Desenvolvimento acima.
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