Enunciado

A tabela mostra a porcentagem da população da Argentina que vivia em áreas rurais de 1955 a 2000. Encontre um modelo para os dados e use-o para estimar a porcentagem de população rural em 1988 e 2002.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... A questão fornece uma tabela com a porcentagem da população argentina que vivia em áreas rurais em diferentes anos:

A partir dos dados da tabela, queremos encontrar um modelo e estimar a porcentagem de população rural em 1988 e 2002.

Para isso, devemos colocar os pontos ( A n o ,   p o r c e n t a g e m   r u r a l ) em um gráfico e depois ligar os pontos.

Com uma calculadora gráfica, teremos poderemos estimar uma função a respeito dos valores indicados.

E aí?? Bora lá?? ����

Passo 2

A seguir plotamos os pontos num diagrama de dispersão pelo excel, e também conseguimos obter a equação que iremos utilizar:

Aparentemente trata-se de um modelo exponencial decrescente deve descrever esses dados.

Passo 3

Vamos tentar um ajuste do tipo

y = A   e - k x - 1955

Coloquei ( x - 1955 ) para definir A como o valor de y onde x = 1955 que é nossa origem de tempo!

Fazendo o ajuste:

Os valores encontrados para os parâmetros do ajuste são

a = 30,0922               e             b = 0,023445

Portanto, temos a nossa função:

y = 30,0922   e - 0,023445   ( x - 1955 )

Passo 4

Assim, para estimar a porcentagem de população rural em 1988 e 2002, basta substituirmos o valor de x por esses anos.

Para x = 1988 :

y 1988 = 30,0922   e - 0,023445   1988 - 1955 ∴

y 1988 = 13,9

Já para x = 2002 :

y 2002 = 30,0922   e - 0,023445   2002 - 1955 ∴

y 2002 = 10,0

Passo 5

De combãooo, o RA vai dar uma colher de chá enormeee,

Vamos resolver a questão por codigo de matlab, e mostrar como os valores batem:

% Dados

anos = [1955, 1960, 1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000];

porcentagem_rural = [30.4, 26.4, 23.6, 21.1, 19, 17.1, 15, 13, 11.7, 10.5];

% Ajuste exponencial

coeficientes_exponencial = polyfit(anos, log(porcentagem_rural), 1);

a = exp(coeficientes_exponencial(2));

b = coeficientes_exponencial(1);

% Estimativa da porcentagem de população rural em 1988 e 2002

ano_1988 = 1988;

ano_2002 = 2002;

porcentagem_1988 = a * exp(b * ano_1988);

porcentagem_2002 = a * exp(b * ano_2002);

fprintf('Estimativa da porcentagem de população rural em 1988: %.2f%%\n', porcentagem_1988);

fprintf('Estimativa da porcentagem de população rural em 2002: %.2f%%\n', porcentagem_2002);

% Plotar os dados e o ajuste exponencial

figure;

scatter(anos, porcentagem_rural, 'filled');

hold on;

grid on;

xlabel('Ano');

ylabel('Porcentagem de população rural');

title('Porcentagem de População Rural na Argentina (1955-2000)');

plot(anos, a * exp(b * anos));

% Adicionar a equação da função exponencial no gráfico

equacao_exponencial = sprintf('y = %.2f * exp(%.5f * x)', a, b);

text(1955, 28, equacao_exponencial, 'FontSize', 10, 'Color', 'blue');

% Adicionar a legenda

legend('Dados', 'Ajuste Exponencial', 'Location', 'southwest');

Passo 6

Agora vamos apresentar a saída do matlab, confirmando o que fizemos e o gráfico

Resposta

y = 30,0922   e - 0,023445   ( x - 1955 )

y 1988 = 13,9

y 2002 = 10,0

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