Enunciado

Um tanque cheio de água tem a forma de um paralelepípedo retangular com 30 m de comprimento, 15 m de largura e uma profundidade de 4 m. Ache o trabalho necessário para bombear a água no tanque a um nível de 50cm acima da borda do tanque.

Passo 1

Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.

A origem será o topo do reservatório e a repartição será considerada nas dimensões do reservatório 0,4 .

Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de w i um ponto qualquer nesse intervalo x i - 1 , x i .

Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!

Passo 2

Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!

Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície do reservatório, que é um retângulo, esse elemento terá espessura   ∆ i x e qual a área entãp?

Ora, vamos pensar! É igual a 15 ×   30 = 450 m 2

Belezaa! Agora com a área calculada e com a espessura definida, teremos o volume dado por:

V o l u m e   d o   e l e m e n t o z i n h o   =   450   ∆ i x

Passo 3

Vamos agora pensar no Peso da água para 1 m 3 , lembrando que 1000   k g m 3 e gravidade igual a 9,81   m s 2 , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:

P = 9810 N

Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?

Ora, será o peso de 1 m 3 multiplicado pelo seu volume:

9810 × 450   ∆ i x

Já temos o peso, que é uma força, o que precisamos para o trabalho??

Isso aí, a distância e como faremos?

Imaginaremos que x i - 1 , x i seja muito próximo! O que vai acontecer com a posição? Será igual a w i , e a distância será a posição mais o quanto sobe acima da borda!

w i + 1 2

O trabalho do elementinho será:

9810 × 450   ∆ i x ( w i + 1 2 )

Pensando em todos os elementinho teremos:

W = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 9810 × 450   ∆ i x ( w i + 1 2 ) = 4.414.500 ∫ 0 4 x + 1 2 d x

Para finalizar! Ufaaa, calcularemos essa integral:

W = 4.414.500 ∫ 0 4 x + 1 2 x d x = 4.414.500 x 2 2 4 0 + x 2 4 0 = 44.145.000 J

Resposta

W = 44.145.000 J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a informação e os dados dos exercícios 29 e 30 da seção 6.4 para calcular o trabalho necessário para lançar um satélite de 1000 kg para fora do campo gravitacional da Terra.
Quanto trabalho é realizado ao se levantar um saco de areia de 40 kg a uma altura de 1,5 m?
Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 1 + x 2 newtons em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 m
Uma força de 10 lb é necessária para manter uma mola esticada 4 pol além do seu comprimento natural. Quanto trabalho é realizado para estica-la do seu comprimento natural até 6 pol além do seu tamanho
1) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força cuja componente na direção do deslocamento é f x . Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de x=a até