Enunciado

Use a informação e os dados dos exercícios 29 e 30 da seção 6.4 para calcular o trabalho necessário para lançar um satélite de 1000 kg para fora do campo gravitacional da Terra.

Passo 1

Queremos calcular o trabalho necessário para vencer a atração gravitacional. Relembrando, o trabalho de uma força é dado por

W = ∫ F r   d r

No caso, F ( r ) é a força de atração gravitacional dada pela lei da gravitação de Newton:

F r = - G M m r 2

Como queremos o trabalho para levar o satélite da superfície da Terra ( r = R , onde R é o raio do planeta) até o infinito (onde não haverá mais campo gravitacional), devemos ter

W = - G M m   ∫ R ∞ 1 r 2 d r

Trata-se de uma integral imprópria.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral ∫ R x 1 r 2 d r :

∫ R x 1 r 2 d r = - 1 r R x = - 1 x + 1 R

Fazendo x → ∞ , temos que 1 x → 0 , de modo que

∫ R ∞ 1 r 2 d r = 1 R

Desta forma, temos que o trabalho da força resultante sobre o corpo é

W = - G M m R

Note que esse trabalho é negativo pois o satélite se movimenta contra a força, devendo “vencer” a atração gravitacional. O trabalho que um agente externo deve fazer sobre o satélite é o módulo deste valor. Portanto:

W e x t = G M m R

Lembrando que g = G M / R 2 , temos que

G M R = g R

Assim,

W e x t = g m R

Como g = 9,8   m / s 2 , m = 1000   k g e R = 6400 000   m , temos que

W e x t = 9,8 ⋅ 10 3 ⋅ 6,4 ⋅ 10 6 = 62,7 ⋅ 10 9   J

Resposta

62,7 ⋅ 10 9   J

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