Enunciado

Um tanque cilíndrico com 3 m de altura e 1,5 m de raio está sobre uma plataforma a 15 m de altura. Ache a profundidade da água quando foi a metade do trabalho necessário para encher o tanque realizada através de cano que vai do nível do solo à base do tanque.

Passo 1

Queremos aqui saber quanto de água foi colocada no tanque se realizamos só metade do trabalho necessário para encher tudo, trazendo a água da altura do solo. Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água em uma altura h é dado por W = m g h , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então primeiro integrar a expressão d W = g h   d m , sendo d m a massa de cada “disco” de água que possui altura d z e a área igual à da base do cilindro, para achar o trabalho total que deve ser realizado para bombear toda a água.

Passo 2

Colocaremos o eixo z apontado para cima e com origem na base do tanque. Cada disco infinitesimal de água terá uma altura d z e uma área igual a área da base do cilindro A = π ⋅ 1,5 2 = 2,25 π m².

O volume d V do elemento é então d V = 2,25 π d z . Como a densidade da água é 1000 kg/ m 3 , a massa de cada elemento é então d m = 1000 ⋅ 2,25 π d z = 2250 π d z . Além disso, cada elemento de água que está em uma posição z , com z indo de 0 m, a 3 m, deve ser erguido z + 15 m. Assim obtemos a expressão d W = g ⋅ z + 15 ⋅ 2250 π d z = 2250 π g   ( z + 15 ) d z .

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W t o t a l , com z indo de 15 m até o topo do tanque em 18 m.

W t o t a l = ∫ 0 3 2250 π g   z + 15 d z = 2250 π g   z 2 2 + 15 z 0 3 = 2250 π g ⋅ 3 2 2 + 15 ⋅ 3 =

2250 π g ⋅ 9 2 + 45 = 2250 π g ⋅ 99 2 = 111375 π g

Passo 4

Agora temos o trabalho total necessário para bombear água pro tanque inteiro. Mas o trabalho realizado foi apenas metade do necessário, então temos:

W = W t o t a l 2 = 111375 π g 2

Já vimos que se quisermos bombear água até uma altura z devemos realizar um trabalho dado por:

W = ∫ 0 z 2250 π g   z + 15 d z = 2250 π g   z 2 2 + 15 z 0 z = 2250 π g ⋅ z 2 2 + 15 ⋅ z =

1125 π g ( z 2 + 30 z )

Então, realizando um trabalho W = 111375 π g 2 :

111375 π g 2 = 1125 π g z 2 + 30 z ⇒ z 2 + 30 z = 111375 π g 2 ⋅ 1125 π g = 49,5

Temos então a equação de segundo grau:

z 2 + 30 z - 49,5 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para z ∈ [ 0 ,   3 ] :

Δ = 30 2 - 4 ⋅ - 49,5 = 900 + 198 = 1098

z = - 30 + 1098   2 ≈ 1,57   m

Resposta

1,57   m

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