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Se um tanque cilíndrico comporta 100000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que restou no tanque após t minutos como:

V t = 100000 1 - t 60 2 ,     0 ≤ t ≤ 60

Encontre a taxa pela qual a água está escoando para fora do tanque (a taxa instantânea da variação de V em relação a t ) como uma função de t . Quais são suas unidades? Para os instantes t = 0 ,   10 ,   20 ,   30 ,   40 ,   50 e 60 minutos, encontre a taxa do escoamento e a quantidade de água restante no tanque. Resuma o que você achou em uma ou duas sentenças. Em que instante a taxa do escoamento é máxima? E a mínima?

Passo 1

E aí pessoal, beleza? Essa questão aqui é beeeem bacana, mostra a aplicação de derivada de uma forma bem contextualizada, relacionando a taxa de variação com o escoamento de um tanque.

Nessa questão, nós vamos precisar lembrar da definição de derivada. Teremos que a derivada V ' ( t ) será dada por:

V ' t = lim h → 0 ⁡ V t + h - V t h

O que queremos e precisamos achar é justamente esse cara, o V ' ( t ) . Já sabemos quem é o V ( t ) (que é dado para a gente no enunciado), agora acharemos o V ( t + h ) , fechou?). Olha como vai ficar:

V t + h = 100000 1 - t + h 60 2

Vamos substituir, agora, V ( t ) e V ( t + h ) na expressão de V ' ( t ) :

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 1 - t + h 60 2 - 100000 1 - t 60 2 h

Passo 2

A próxima etapa e arrumar a nossa função, de uma forma que fique mais fácil da gente resolver o limite. Vamos começar reescrevendo ela dessa forma aqui:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - t + h 60 2 - 1 - t 60 2

Dentro dessa expressão nós temos 2 produtos notáveis na forma quadrado da diferença: o primeiro é o 1 - t + h 60 2 e o segundo o 1 - t 60 2 . Expandido esses produtos notáveis, vamos ter:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - 2   .   t + h 60 + t + h 60 2 - 1 - 2   . t 60 + t 60 2

Fazendo o jogo de sinas com o parêntese maior do lado direito:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - 2   .   t + h 60 + t + h 60 2 - 1 + 2   . t 60 - t 60 2

Agora, vamos expandir os termos elevados ao quadrado:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - 2   .   t + h 60 + t 2 + 2 t h + h 2 3600 - 1 + 2   . t 60 - t 2 3600

Simplificando agora 2 com 60 nas frações em que podemos fazer isso, vai ficar assim:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - ( t + h ) 30 + t 2 + 2 t h + h 2 3600 - 1 + t 30 - t 2 3600

Agora a gente vai juntar os caras que tem o mesmo denominador em comum! Vai ficar assim, saca só:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h 1 - 1 + t - t - h 30 + t 2 + 2 t h + h 2 - t 2 3600

Fazendo as subtrações possíveis, vamos ficar com essa expressão aqui:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h - h 30 + 2 t h + h 2 3600

Pronto! Agora ela ta bem mais arrumada e podemos trabalhar melhor com ela!

Passo 3

Agora, precisamos resolver o limite em desse exercício. Se fizermos a substituição h = 0 na tentativa de resolver esse limite, cairemos em uma indeterminação 0 0 . Para resolver ess problema, podemos deixar o h do numerador em evidencia e cancelar com o do denominador, beleza? Olha só o que eu quero dizer:

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 h   . h - 1 30 + 2 t + h 3600

V ' t = lim h → 0 ⁡ 100000 - 1 30 + 2 t + h 3600

Pronto, dessa forma ai que tá, já podemos resolver o limite! Agora vamos fazer a substituição h = 0 :

V ' t = 100000 - 1 30 + 2 t + 0 3600

V ' t = 100000 - 1 30 + 2 t 3600

Tirando o MMC das nossas frações, vai ficar assim:

V ' t = 100000 2 t - 120 3600

E dando mais uma arrumadinha:

V ' t = 100000 t - 60 1800

V ' t = 5 0 0 9 t - 60

Pronto! Essa é a nossa taxa instantânea de variação, em L / m i n , em função do tempo t .

Se você já resolveu bastante exercício de limite, no final do passo 2 é bem capaz de ter sacado que ia aparecer essa determinação e precisava colocar o h em evidência. Esse tipo de situação é bem comum ao se trabalhar com limite, então guarda logo essa dica aí viu!

Passo 4

Agora, temos que calcular o volume restante no tanque V ( t ) e a taxa de escoamento V ' ( t ) para t = 0 ,   10 ,   20 ,   30 ,   40 ,   50 e 60 minutos. Tudo que precisamos é substituir os valores de t nas expressões de V ( t ) e V ' ( t ) , ta tranquilo? Fizemos essa tabela aqui com os valores encontrados nas contas, olha só:

A partir da tabela, podemos concluir algumas coisas. É possível ver que a taxa de variação é sempre negativa – isso indica que o volume no tanque diminui com o tempo, de acordo com o esperado!

Outra coisa: conforme o tempo passa, a intensidade, a magnitude da taxa de variação vai ficando menor. Isso quer dizer que no início a água saí muito mais rápido que no final, quando a vazão é menor, beleza? Daí a gente tira que quando t = 0 temos a taxa de variação de maior magnitude e quando t = 60 a de menor magnitude.

Pronto, respondemos todo o exercício! Esse é trabalhoso mas é bem legal mesmo, então dá uma estudada legal nele que vai te ajudar a ficar fera em derivada! ;)

Resposta

A taxa com a qual a água escoa de acordo com o tempo t é dada pela expressão:

V ' t = 250 9 t - 60   ( L / m i n )

Para os instantes t = 0 ,   10 ,   20 ,   30 ,   40 ,   50 e 60 minutos, temos os seguintes volumes e taxas de escoamento:

É possível ver que a taxa de variação é sempre negativa – isso indica que o volume no tanque diminui com o tempo. Logo, a taxa de variação com maior magnitude acontece quando t = 0 e a de menor magnitude quando t = 60 .

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