Enunciado

O tanque na Figura Ex-17 tem água até uma profundidade de 2   m . Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água até o topo do tanque. [Use 9810   N / m 3 como a densidade do peso da água.]

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima. Podemos cortar nosso volume de água em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x .

Mas como temos duas faces com formato triângular, a largura dessas fatias vai variar com x (altura do reservatório)

Podemos usar semelhança de triângulos:

L f a t i a 4 = x 3 ∴ L f a t i a = 4 3 x

Logo, o volume fica:

V = 4 3 x ⋅ 6 ⋅ d x = 8   x d x  

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a 9810   N / m 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 9810   V = 78480 x d x   N

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 3 - x  

Sendo que x vai de 0 a 2   m .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d =   78480 x d x   ⋅ 3 - x = 78480 x 3 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ 0 2 78480 x 3 - x d x = 261600   N ⋅ m

Resposta

W t o t a l = 261600   N ⋅ m

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