Enunciado

Um tanque de óleo tem a forma de um cilindro circular reto, com 4   p é s de diâmetro. Encontre a força total do fluido sobre um extremo quando o eixo é horizontal e o tanque está cheio até a metade com um óleo de peso específico de 50   l b / p é s 3 .

Passo 1

Vamos compreender melhor a situação. O que ele quer dizer é que tem um cilindro e ele está deitado (o eixo está na horizontal), e cheio até a metade.

O que a acontece é que se olharmos só para um extremo do cilindro, há uma região, em forma de semicírculo, que está recebendo uma força do fluído.

Como temos uma região submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico do líquido:

ρ = 50   l b / p é s 3

Vamos começar!

Passo 2

Para achar w ( x ) , que é a largura da nossa região que varia com a profundidade x , vamos ter que usar nossa esperteza. Vamos considerar que a origem do eixo x está na altura da superfície do líquido.

Olha essa figura:

Esse desenho mostra que a metade da largura da placa, o raio do semicírculo e o valor de x fazem um triângulo retângulo. A gente pode usar nosso amigo, o Teorema de Pitágoras:

x 2 + w x 2 4 = 2 2

Porque o raio vale 2   p é s . Isolando w ( x ) :

w x = 2 4 - x 2

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 0 e termina em b = x = 2   p é s .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

F = ∫ 0 2 50 ⋅ x ⋅ 2 4 - x 2 d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral. Usando a substituição:

u = 4 - x 2 ∴ d u d x = - 2 x ∴ d u - 2 x = d x

Nossos extremos de integração ficam assim:

u 1 = 4 - 0 2 = 4

u 2 = 4 - 2 2 = 0

E a integral fica desse jeitinho:

F = - 50 ∫ 4 0 u 1 2 d u = - 50 ⋅ 2 3   0 3 2 - 4 3 2 = 266,67   l b

Resposta

F = 266,67   l b

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Encontre o centroide da região.