Enunciado

As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.

Passo 1

Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:

ρ = 9810   N / m 3

E w ( x ) é a largura da placa e h ( x ) a profundidade de cada ponto x . (sendo a e b os limites da placa nessa profundidade).

E sendo o eixo x , um eixo vertical para baixo, com a origem ( x = 0 ) na superfície do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Para achar w ( x ) , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:

Esse desenho mostra que a metade da largura da placa, o raio do semicírculo e o valor de x fazem um triângulo retângulo. A gente pode usar nosso amigo, o Teorema de Pitágoras:

x 2 + w x 2 4 = 5 2

Porque o raio vale 5 . Isolando w ( x ) :

w x = 2 25 - x 2

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 0 e termina em b = x = 5   m .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

F = ∫ 0 5 9810 ⋅ x ⋅ 2 25 - x 2 d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral. Usando a substituição:

u = 25 - x 2 ∴ d u d x = - 2 x ∴ d u - 2 x = d x

Nossos extremos de integração ficam assim:

u 1 = 25 - 0 2 = 25

u 2 = 25 - 5 2 = 0

E a integral fica desse jeitinho:

F = - 9810 ∫ 25 0 u 1 2 d u = - 9810 ⋅ 2 3   0 3 2 - 25 3 2 = 817500   N

Resposta

F = 817500   N

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Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.
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Encontre o centroide da região.