Enunciado

Tanto x quanto y denotam funções de t que estão relacionadas pela equação dada. Use essa equação e a informação sobre a derivada para encontrar a derivada especificada.

Equação: x 2   +   y 2   =   2 x   +   4 y

(a) Dado que d x d t = - 5 , encontre d y d t quando ( x ,   y )   =   ( 3 ,   1 ) .

(b) Dado que d y d t = 6 , encontre d x d t quando ( x ,   y )   =   ( 1 + 2 ,   2 + 3 ) .

Passo 1

Como o enunciado nos dá dados sobre a derivada em relação a t , vamos derivar em relação a t :

d d t ( x 2   +   y 2 )   = d d t   ( 2 x   +   4 y )

d x 2 d t + d y 2 d t = d 2 x d t + d 4 y d t

Como x e y são funções de t , vamos usar a derivação implícita:

d x 2 d x d x d t + d y 2 d y d y d t = 2 d x d t + 4 d y d t

2 x d x d t + 2 y d y d t = 2 d x d t + 4 d y d t

Organizando melhor chegamos nessa relação aqui:

d x d t 2 x - 2 = d y d t ( 4 - 2 y )

Passo 2

(a)

Como d x d t = - 5 e além disso

x ,   y =   3 ,   1

Se substituirmos na relação que a gente encontrou fica assim:

d x d t 2 x - 2 = d y d t ( 4 - 2 y )

- 5 2 ( 3 ) - 2 = d y d t ( 4 - 2 ( 1 ) )

Agora é só a gente ir com calma fazendo essas continhas:

- 5 6 - 2 = d y d t 4 - 2

- 5 4 = d y d t 2

d y d t =   - 10

Passo 3

(b)

Já na letra b temos d y d t = 6     e:

( x ,   y )   =   ( 1 + 2 ,   2 + 3 )

Vamos substituir dentro da relação que encontramos no Passo 1:

d x d t 2 x - 2 = d y d t ( 4 - 2 y )

d x d y 2 1 + 2 - 2 = ( 6 ) ( 4 - 2 ( 2 + 3 ) )

Essas contas são feinhas, temos que fazer com cuidado pra não errar

d x d t 2 + 2 2 - 2 = 6 4 - 4 - 2 3

d x d t   2 2 = 6   ( - 2 3 )

Então chegamos que

d x d t = - 6 3 2

Resposta

(a) d y d t =   - 10

(b) d x d t = - 6 3 2

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