Enunciado

16) Uma xícara de café recém coado tem a temperatura de 95 ° C em uma sala a 20 ° C. Quando sua temperatura for 70 ° C ele estará esfriando a uma taxa de 1 ° C por minuto. Quando isso ocorre?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Aqui a gente vai avaliar o resfriamento de um café coado a temperatura ambiente de 20 ° C . Inicialmente o café esta a 95 ° e quando ele atinge 70 ° a sua taxa de resfriamento é 1 ° C / m i n . Ou seja:

T ' 70 ° = 1 ° C / m i n

O que temos que responder aqui é: Em que momento ( t ) o café atinge essa temperatura?!

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

Onde T é a temperatura em função do tempo t , a constante T s é a temperatura do meio circundante e k é a taxa de resfriamento relativa e constante.

Podemos dizer que:

y = T ( t ) - T s

Então temos:

T ' t = k ( y )

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos y = T ( t ) - T s .

Passo 2

Nesse caso, a xícara em um meio circundante com a temperatura T s = 20 ° C a temperatura inicial é T 0 = 95 ° , e quando T t = 70 ° C, a taxa de resfriamento é de 1 ° C por minuto, ou seja, T ' t = - 1 ° C/min . Então:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

1 = k 70 - 20

k = - 1 50

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou neste caso:

T ( t ) - T s = T ( 0 ) - T s e k t

Logo, a equação que expressa a temperatura do café é:

T t - 20 = 75 e - 1 50 × t

Quando a temperatura é 70 ° C então T t = 70 ° C , logo:

70 - 20 = 75 e - 1 50 × t

e - t 50 = 2 3

t = - 50 × ln ⁡ 2 3 = 20 , 3  

Logo, a temperatura é 70 ° C após aproximadamente 20,3 minutos.

Resposta

A temperatura é 70 ° C após aproximadamente 20,3 minutos.

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