Enunciado

(a) A temperatura de uma barra de metal com 10   m e t r o s de comprimento é de 15 ° C em uma ponta e de 30 ° C na outra. Supondo que a temperatura aumenta linearmente do extremo

mais frio para o mais quente, qual é a temperatura média da barra?

(b) Explique por que deve haver um ponto na barra em que a temperatura é igual à média; encontre-o.

Passo 1

Vamos analisar para o item (a), se chamarmos de x a distância da extremidade mais fria, então a temperatura será:

T x = 15 + 1,5 x ° C

Assim, calculando a temperatura média, temos:

T m = 1 b - a ∫ a b T x d x

T m = 1 10 - 0 ∫ 0 10 15 + 1,5 x d x

T m = 1 10 15 x + 1,5 x 2 2 0 10

T m = 1 10 225 = 22,5 ° C

Passo 2

Bom, para o item (b), podemos considerar o Teorema do Valor Médio para Integrais, o qual nos diz que existe um x *   em [ 0 ,   10 ] , de modo que:

f x * = 1 10 - 0 ∫ 0 10 15 + 1,5 x d x = 22,5

22,5 = 15 + 1,5 x *

x * = 5

Prontinho!!

Resposta

(a)   22,5 ° C

(b) x * = 5

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