Enunciado

A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da bola.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular a taxa de transmissão Φ vamos relembrar como é a fórmula:

Φ = ∬ S K ∇ u → ⋅ d S →

Então, aqui temos de considerar uma esfera de raio a centrada na origem. Usando o exemplo 6 do livro como referência, o vetor normal à esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que aponta para fora é:

n → = 1 a ( x i → + y j → + z k → )

E como a condutividade é inversamente proporcional à distância da bola podemos escrever:

u = c x 2 + y 2 + x 2

Sendo assim o valor de K ∇ u → é:

K ∇ u → = c K x 2 + y 2 + z 2 3 2 ( x i → + y j → + z k → )

Passo 2

Vamos agora fazer o produto escalar entre K ∇ u → e n → :

K ∇ u → ⋅ n → = c K x 2 + y 2 + z 2 3 2 x i → + y j → + z k → ⋅ 1 a x i → + y j → + z k → = c K a x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 = c K / a 2

E simplificando mais um pouco temos:

K ∇ u → ⋅ n → = c K / a 2

Passo 3

Beleza! Agora que já temos n → ,   K ∇ u → e seu produto escalar, precisamos determinar d A e jogar na integral! O diferencial de área vai ser d A = r 2 s e n θ d θ d ϕ entre os limites:

0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:

Φ = ∬ S K ∇ u → ⋅ n → d A = c K a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π a 2   s e n ϕ d ϕ d θ

Φ = c K ∫ 0 2 π ∫ 0 π   s e n ϕ d ϕ d θ = c K ∫ 0 2 π - c o s ϕ 0 π   d θ = c K   ∫ 0 2 π - - 1 - 1 d θ = 2 c K ∫ 0 2 π d θ = 2 c . 2 π = 4 K c π

E podemos ver que a taxa de transmissão de calor Φ independe do raio a da esfera!

Resposta

Φ = 4 K c π

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