Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 48
A temperatura de um ponto da bola com condutividade é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera de raio e centro da bola.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular a taxa de transmissão vamos relembrar como é a fórmula:
Então, aqui temos de considerar uma esfera de raio centrada na origem. Usando o exemplo do livro como referência, o vetor normal à esfera que aponta para fora é:
E como a condutividade é inversamente proporcional à distância da bola podemos escrever:
Sendo assim o valor de é:
Passo 2
Vamos agora fazer o produto escalar entre e :
E simplificando mais um pouco temos:
Passo 3
Beleza! Agora que já temos e seu produto escalar, precisamos determinar e jogar na integral! O diferencial de área vai ser entre os limites:
Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:
E podemos ver que a taxa de transmissão de calor independe do raio da esfera!
Resposta
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