Enunciado

Calcule ∬ S F ⋅ n d s   nos exercícios abaixo:

F ( x , y , z ) = ( x , y , x z ) e S   é a superfície do sólido W , onde W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 , com vetor normal n   exterior.

Passo 1

Bom galera, o exercício nos pede para calcular ∬ S F ⋅ n d s e nos dá as informações de que F ( x , y , z ) = ( x , y , x z ) e que

S   : superfície do sólido W ,

com vetor normal n exterior.

W = x , y , z x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1

Nosso φ t , θ será:

φ t , θ = ( t cos ⁡ θ , t   s e n   θ , t )

Logo, o intervalo de convergência é dado por:

0 ≤ t ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π  

Derivando, temos que:

x t = t x ' t = 1

z t = t z ' t = 1

E, portanto:

N φ t , θ = t - cos ⁡ θ ,   - s e n   θ ,   1 = ( - t cos ⁡ θ ,   - t   s e n   θ ,   t )

Passo 2

Já podemos montar nossa integral:

∬ S F ⋅ n d s = ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y

⇒ ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( t s e n   θ , t , t 2 cos ⁡ θ ) ⋅ - t cos ⁡ θ ,   - t   s e n   θ ,   t d t d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( - t 2   s e n θ cos ⁡ θ - t 2   s e n θ + t 3 cos ⁡ θ )   d t d θ

Passo 3

Resolvendo a integral de dentro:

∫ 0 2 π t 3 3   s e n θ cos ⁡ θ - t 3 3 s e n   θ + t 4 4 cos ⁡ θ 0 1 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ( - 2 s e n θ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ )     d θ  

Passo 4

Agora, resolvendo a integral de fora usando substituição:

Seja u = s e n   θ , então d u = cos ⁡ θ   d θ :

1 2 ∫ 0 2 π ( - 2 s e n θ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ )     d θ   = 1 2   - s e n 2 θ 2 + cos ⁡ θ - s e n   θ 0 2 π = 1 2   ⋅ 1 - 1 = 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

29- Calcule ∫ ∫ S x y zd S preciso até a quarta casa decimal, onde S é a superfície z = x y ,0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F.d S para o campo vetorial F e a superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação
Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular I =∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y = OndeS é a face da frente de TS é a face de T qu
Calcular I =∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y Onde S é a superfície exterior do cilindro x 2 + z 2 = a 2 Limitado pelos planos y =- 4 y = 4
Calcular ∫ ∫ S f → *n →d S Sendo f → = yi → - xj → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 no 1 octante com a normal apontando para fora