Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 47
A temperatura de um ponto em uma substância com condutividade é . Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular a taxa de transmissão de calor precisamos calcular antes de tudo o gradiente de Relembrando que o gradiente de uma função escalar é
Aplicando para temos:
E o valor de é:
Show!
Passo 2
Vamos parametrizar a superfície. Como temos um cilindro de raio nas coordenadas e , e é livre, podendo valer de até uma parametrização possível é:
Com os parâmetros e entre:
O vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
O diferencial de área vai ser:
O valor de na nova parametrização vai ser:
E o produto escalar entre o vetor e é:
Pronto! Agora vamos jogar tudo isso na integral!
Passo 3
Legal! O próximo passo é substituir tudo na integral. A taxa de transmissão de calor é:
Show! Essa é a resposta! Vamos pra próxima questão?
Resposta
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