Enunciado

A temperatura de um ponto ( x , y , z ) em uma substância com condutividade K = 6,5 é u x , y , z = 2 y ² + 2 z ² . Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica y ² + z ² = 6 ,   0 ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular a taxa de transmissão de calor precisamos calcular antes de tudo o gradiente de u x , y , z .   Relembrando que o gradiente de uma função escalar f é

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → ,

Aplicando para u x , y , z = 2 y ² + 2 z ² temos:

∇ u = 4 y j → + 4 z k →

E o valor de K ∇ u   é:

K ∇ u = 6,5 ( 4 y j → + 4 z k → )

Show!

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície. Como temos um cilindro de raio 6 nas coordenadas y e z , e x é livre, podendo valer de 0 até 4 uma parametrização possível é:

x = x y = 6 c o s θ z = 6 s e n θ

Com os parâmetros x e θ entre:

0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2 π

O vetor r → é:

r → = x i → + 6 c o s θ j → + 6 s e n θ k →

E as derivadas parciais r → x e r → θ são:

r → x = 1 i →

r → θ = - 6 s e n θ j → + 6 c o s θ k →

E o produto vetorial entre eles é:

r → x × r → θ = i → j → k → 1 0 0 0 - 6 s e n θ 6 c o s θ = - 6 c o s θ j → + 6 s e n θ k →

O diferencial de área vai ser: d A = d x d θ

O valor de K ∇ u na nova parametrização vai ser:

K ∇ u = 6,5 ( 4 6 c o s θ j → + 4 6 s e n θ k → )

E o produto escalar entre o vetor K ∇ u e r → x × r → θ é:

K ∇ u ⋅ r → x × r → θ = 6,5 4 6 c o s θ j → + 4 6 s e n θ k → ⋅ - 6 c o s θ j → + 6 s e n θ k → = 6,5.4 . 36 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 156

Pronto! Agora vamos jogar tudo isso na integral!

Passo 3

Legal! O próximo passo é substituir tudo na integral. A taxa de transmissão de calor é:

∬ S K ∇ u ⋅ d S → = ∬ S K ∇ u ⋅ r → x × r → θ d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 156 d x d θ = 156.4 . 2 π = 1248 π

Show! Essa é a resposta! Vamos pra próxima questão?

Resposta

1248 π

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