Enunciado

O Teorema do Valor Médio para as integrais duplas diz que, se f é uma função contínua em uma região plana D do tipo I   ou do tipo I I , então existe um ponto x 0 , y 0 em D , tal que

∫ ∫ D f x , y   d A = f x 0 , y 0   A D

Utilize o Teorema do Valor Extremo ( 14.7 . 8 ) e a Propriedade 15.3 . 11 das integrais para demonstrar esse teorema. (Use a demonstração da versão unidimensional da Seção 6.5 , no Volume I , como guia.)

Passo 1

Se liguem só meus queridões. Para resolver essa questão como temos várias citações do livro pode causar alguma confusão, mas essa questão não é muito trabalhosa não, fiquem calmos.

Pelo Teorema do Valor Extremo ( 14.7 . 8 ) , nós temos que f tem um valor mínimo absoluto m e um valor máximo absoluto M em D (dentro do domínio. Então, pela propriedade 15.3 . 11 nós temos que

m A D ≤ ∫ ∫ D f x , y   d A ≤ M A D

Como A ( D ) é um número positivo podemos dividir todo mundo por ele de modo a obtermos

m ≤ 1 A D ⋅ ∫ ∫ D f x , y   d A ≤ M

Beleza, mas o que isso quer dizer? Isso nos diz que o valor médio de f sobre D está entre m e M . Mas f é contínua em D e assume os valores m e M , e assim pelo Teorema do Valor Intermediário deve assumir todos os valores entre m e M também. Para nós isso vai ser isso por nos diz que especificamente existe um ponto x 0 , y 0 em D tal que

f x 0 , y 0 = 1 A D ⋅ ∫ ∫ D f x , y   d A

O que equivale a dizer que

1 A D ⋅ ∫ ∫ D f x , y d A = f x 0 , y 0 → ∫ ∫ D f x , y d A =   f x 0 , y 0 ⋅ A D

Como queríamos demonstrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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