Enunciado

Descreva a região cuja área é dada pela integral

int_0^((pi)/(2)) int_0^(s e n (2 theta)) r d r d theta

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, vamos entender o que tá acontecendo aqui nessa questão e o que ela deseja da gente. Diferente das duas questões anteriores onde ele dava a região e pedia pra gente escrever a integral de forma iterada, para essa questão nós já temos a integral iterada e vamos precisar descrever a região. Pois bem, se observarmos bem a integral está na forma polar e poderemos escrevê-la da seguinte forma alternativa

{(r , theta) | 0 <= theta <= (pi)/(2) , 0 <= r <= sin (2 theta)}

Pela variação de theta sabemos que nossa região se encontra no primeiro quadrante e é uma representação da função r = sin (2 theta) . Dessa forma, plotando em algum software matemático vamos encontrar

Pronto, tá resolvido nosso problema. Até que foi tranquilo, né?

Resposta

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd rd θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ