Enunciado

Demonstre que se underset(n -> oo)(l i m) a_n = 0 e {b_n} for limitada, então

underset(n -> oo)(l i m) (a_n b_n) = 0

Passo 1

Pessoal, vamos usar o Teorema do Confronto pra demonstrar que o limite é 0 , pois {b_n} é limitada. Vamos supor que é limitada inferiormente por A e superiormente por B :

A <= b_n <= B

A a_n <= a_n b_n <= B a_n

Agora a gente toma o limite:

underset(n -> oo)(l i m) (A a_n) <= underset(n -> oo)(l i m) (a_n b_n) <= underset(n -> oo)(l i m) (B a_n)

A . underset(n -> oo)(l i m) a_n <= underset(n -> oo)(l i m) (a_n b_n) <= B . underset(n -> oo)(l i m) a_n

Mas a hipótese é que underset(n -> oo)(l i m) a_n = 0 , então:

0 <= underset(n -> oo)(l i m) (a_n b_n) <= 0

Ou seja, underset(n -> oo)(l i m) (a_n b_n) = 0 e está demonstrado, beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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