Enunciado

Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa $ 3 o metro enquanto os dois lados restantes recebem uma cerca padrão de $ 2 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com $ 6000 ?

Passo 1

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Sempre esses exercícios precisam da sua boa interpretação de texto. No caso, queremos cercar a maior área de terreno possível com cuto fixo de $ 6000 . Como fazer isso?

Passo 2

Denominemos os lados do retângulo como x e y , não importando qual seja o maior e o menor. E vamos supor que a cerca pro lado x seja a que custe $ 3 , e a pro lado y a que custe $ 2 .

Considerando que temos dois lados x e dois lados y (pois é um retângulo), o custo total das cercas pode ser escrito assim:

2 ∙ 3 x + 2 ∙ 2 y = 6000

6 x + 4 y = 6000

3 x + 2 y = 3000

Agora, temos que a área A do retângulo é dada pelo produto dos lados x e y :

A = x ∙ y

Pra facilitar nossos cálculos, isolamos y na primeira equação e substituímos na segunda pra podermos escrever A em função de somente um dos lados, no caso, x . Temos:

2 y = 3000 - 3 x

Substituindo isso na equação pra A , vamos ter:

2 ∙ A x = x ∙ ( 3000 - 3 x )

A x = x ∙ ( 3000 - 3 x ) 2 = 3000 x - 3 x 2 2

Passo 3

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, A ( x ) é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado x ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! O valor de x que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de x , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Passo 4

Derivando, temos:

A ' x = 3000 - 6 x 2

Igualamos isso a zero:

3000 - 6 x 2 = 0

3000 - 6 x = 0

6 x = 3000

∴ x = 500

Então, esse é o valor de x , lado do retângulo, cuja cerca custa mais caro, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos x , mas ainda precisamos de y . Calculamos facilmente pela primeira equação!

2 y = 3000 - 3 x

2 y = 3000 - 3 ∙ 500

2 y = 1500

∴ y = 750

Resposta

São as dimensões x = 500   m e y = 7 50   m .

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