Enunciado

Uma área retangular com 288   m 2 deve ser cercada. Em dois lados opostos, será usada uma cerca que custa $ 1 o metro, e nos lados restantes uma cerca que custa $ 2 o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.

Passo 1

Nosso objetivo vai ser encontrar uma expressão que sirva como função para o custo de construção da cerca retangular.

Sabemos que a área A = 288 de um retângulo de lados x e y tem a seguinte equação:

A = x ∙ y = 288

E temos, nesse caso, considerando o perímetro do retângulo sendo 2 x + 2 y (duas vezes cada lado, somados) que o custo C vai equivaler a:

C = 4 x + 2 y

Aqui considerando x como o lado cuja cerca custa 2 e y o lado cuja cerca custa 1 .

Passo 2

Precisamos escrever o custo C como uma função apenas de uma variável. No caso, vamos escrever em função apenas de x .

Pra isso, usamos a equação que descreve a área do retângulo, isolando y , da seguinte forma:

y = 288 x

Agora substituímos isso na expressão de C e vamos obter C ( x ) . Teremos:

C x = 4 x + 2 ∙ 288 x

C x = 4 x 2 + 576 x

Passo 3

Agora temos uma função que descreve o custo para a construção da cerca.

Queremos o ponto de mínimo, que vai nos dar o menor custo. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar C ( x ) , derivar e igualar a zero! Os valores de x que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o menor valor. Vai ser esse o nosso ponto de mínimo, que vai dar o custo mínimo!

Passo 4

Derivando, temos:

C ' x = 4 - 576 x 2

Igualamos isso a zero:

4 - 576 x 2 = 0

576 x 2 = 4

576 = 4 x 2

x 2 = 144

x = ± 12

Dentre - 12 e + 12 , o ponto de mínimo pra C ( x ) é x = 12 , já que x = - 12 nos daria um custo negativo (e também um comprimento negativo) na função C ( x ) , que não faz sentido no nosso contexto.

Logo, 12 vai ser o comprimento do lado que vale x   c m da cerca. Determinamos o lado y facilmente pela expressão que temos:

y = 288 12 = 24

Resposta

São as dimensões x = 12   c m e y = 24   c m .

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Suponha que f seja uma função contínua definida no intervalo fechado [ a , b ] .a) Que teorema garante a existência de máximo e mínimo absolutos para f ?b) Quais etapas você deve seguir para encontrar
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [ 1,5 ] e tenha as propriedades dadas:Máximo absoluto em 3 , mínimo absoluto em 2 e mínimo local em 4 .
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [ 1,5 ] e tenha as propriedades dadas:Máximo absoluto em 5 , mínimo absoluto em 1 , máximo local em 2 e mínimo local em 4 .
Explique a diferença entre mínimo local e mínimo absoluto.
Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [ 1,5 ] e tenha as propriedades dadas: f não tem máximos e mínimos locais, mas 2 e 4 são números críticos.