Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + 1)/(n^3 + 1)

Passo 1

Olha que beleza! Vamos começar logo no primeiro passo com uma dica!

Dica: sempre que nos depararmos com um termo a_n de uma série qualquer que é uma fração de termos algébricos em n , procuraremos usar o “Teste de Comparação no Limite”.

No nosso caso, nosso termo a_n = (n^2 + 1)/(n^3 + 1) .

Outro macete aqui é buscar o termo algébrico de maior grau no numerador e no denominador. Para o numerador, temos o termo n^2 ; já para o denominador, temos o n^3 . Vamos chamar esses termos de alpha e beta respectivamente? É rapidinho, eu prometo

alpha = n^2 beta = n^3

Agora, pensando numa série do tipo sum_(n = 1)^(oo) b_n , vamos escolher o termo b_n como sendo:

b_n = (alpha)/(beta) = (n^2)/(n^3) = (1)/(n)

Passo 2

Show de bola! Como sabemos que a série sum_(n = 1)^(oo) b_n = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n) é uma série divergente (a nossa famosíssima série harmônica), vamos usar o “Teste de Comparação no Limite”.

Por esse teste, vamos fazer a seguinte comparação de termos:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n^2 + 1)/(n^3 + 1))/((1)/(n)) = underset(n -> oo)(lim) (n^2 + 1)/(n^3 + 1) * n = underset(n -> oo)(lim) (n^3 + n)/(n^3 + 1) underset(L^' H o p i t a l)(->) underset(n -> oo)(lim) (6)/(6) = 1

Passo 3

Como o limite calculado é um número finito e maior do que 0, chegamos à conclusão de que, uma vez que a série sum_(n = 1)^(oo) b_n é divergente, a nossa série sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + 1)/(n^3 + 1) também é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + 1)/(n^3 + 1) é divergente

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