Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(k = 1)^(oo) (2^k k !)/((k + 2) !)

Passo 1

Olha que alegria! Vamos começar logo com aquela dica marota! Tá vendo aqueles fatoriais ali no numerador e no denominador?

fatorial harr Teste da Razão ( #ficaadica )

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão para a nossa série

underset(k -> oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = underset(k -> oo)(lim) ((2^((k + 1)) ( k + 1 ) !)/((k + 2 + 1) !))/((2^k k !)/((k + 2) !)) = underset(k -> oo)(lim) [(2^((k + 1)) (k + 1) !)/((k + 3) !) * ((k + 2) !)/(2^k k !)]

Vamos abrir aqueles fatoriais ali em cima e aquele 2^(k + 1) como 2^k * 2 para simplificarmos algumas coisas

underset(k -> oo)(lim) [(2^((k + 1)) (k + 1) !)/((k + 3) !) * ((k + 2) !)/(2^k k !)] = underset(k -> oo)(lim) [(2^k * 2 * (k + 1) k !)/(( k + 3 ) (k + 2) !) * ((k + 2) !)/(2^k k !)] = underset(k -> oo)(lim) [(2 (k + 1))/(( k + 3 ))] = 2

Passo 3

Opa! Nosso limite underset(k -> oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = 2 > 1 . Ou seja, a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) (2^k k !)/((k + 2) !) é divergente

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Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.33. ∑ n = 1 ∞ - 9 n n 1 0 n + 1
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.19. ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.16. ∑ n = 1 ∞ n 10 - 10 n + 1
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.24. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙⋯∙ 3 n + 2
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.20. ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2