Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) n^2 e^(- n^3)

Passo 1

Nada melhor que uma dica logo no primeiro passo, não é? Então lá vai...

Geralmente quando nos depararmos com séries cujo termo é algo do tipo a_n = n^(alpha) e^(- n^(beta)) , com alpha , beta in N , nós terminaremos usando o “Teste da Integral”.

Olhando para o nosso enunciado, vemos que é exatamente o caso da nossa dica! Então...partiu “Teste da Integral”!

Passo 2

Antes de aplicarmos logo o “Teste da Integral”, vamos só confirmar se o nosso termo da série, quando entendido como uma função a ser integrada, é, de fato, contínuo, positivo e decrescente (essa é a condição para usarmos o Teste da Integral ).

n^2 e^(- n^3) [[P,a,r,a,,o],[vec T e s t e d a I n t e g r a l]] f (x) = x^2 e^(- x^3) = (x^2)/(e^(x^3))

Bom...Para o intervalo [ 1 , oo ) , nossa função f ( x ) é positiva, contínua e decrescente. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral sem medo de sermos felizes!

Passo 3

Aplicando o “Teste da Integral”, temos o seguinte:

sum_(n = 1)^(oo) n^2 e^(- n^3) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) int_1^(oo) x^2 e^(- x^3) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t x^2 e^(- x^3) d x)

Resolvendo aquela integral ali em cima e aplicando o limite, temos que:

int_1^(oo) x^2 e^(- x^3) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t x^2 e^(- x^3) d x) = underset(t -> oo)(lim) [- (e^(- x^3))/(3)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) (- (e^(- t^3))/(3)) + (1)/(3 e)

Resolvendo o limite acima:

underset(t -> oo)(lim) (- (e^(- t^3))/(3)) + (1)/(3 e) = 0 + (1)/(3 e) = (1)/(3 e)

Passo 4

Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral converge! Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) n^2 e^(- n^3) é convergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n ln n)
Encontre os valores de p para os quais a série é convergente. ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 3 ∞ n 2 e n
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3