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Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n    

Passo 1

Temos que

a n = 1 n 1 + 1 / n

E podemos melhorar um poquinho a expressão para enxergarmos melhor:

a n = 1 n 1 + 1 / n = 1 n ⋅ n 1 n

Fechou, agora podemos enxergar que podemos usar o teste da Comparação no Limite. Então, escolhemos um b n :

b n = 1 n

Uma série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 2

Aplicando o teste da comparação do limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = l i m n → ∞ 1 n ⋅ n 1 n 1 n = l i m n → ∞ 1 n ⋅ n 1 n ⋅ n 1 = l i m n → ∞ 1 n 1 n = 1 > 0

Isso nos diz que, a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 n

diverge em comparação com as séries harmônicas divergentes.

Resposta

Diverge.

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