Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ 5 x - 4 n n 3

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = 5 x - 4 n n 3

Então, fazemos

a n + 1 = 5 x - 4 n + 1 ( n + 1 ) 3

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 5 x - 4 n + 1 ( n + 1 ) 3 ⋅ n 3 5 x - 4 n = lim n → ∞ ⁡ 5 x - 4 n n + 1   3 = lim n → ∞ ⁡ 5 x - 4 n n + 1 n   3 = 5 x - 4 ⋅ 1 = | 5 x - 4 |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ 5 x - 4 n n 3

Converge quando

5 x - 4 < 1   ⇔ x - 4 5   < 1 5   ⇔ - 1 5 < x - 4 5 < 1 5 ⇔ 3 5 < x < 1

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1 5

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

Quando

x = 1

A série ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 , é convergente pela p-série com p = 3 > 1 .

Quando

x = 3 5

A série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 converge pelo teste das séries alternadas.

Então, o intervalo de convergência é:

I = 3 5 , 1

Resposta

R = 1 5

I = 3 5 , 1

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