Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

4 7 - 4 8 + 4 9 - 4 10 + 4 11 - …

Passo 1

A série alternada converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo ele da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de b n é

b n = 4 n ,   ∀ n ≥ 7

Agora basta ver qual o padrão do sinal, neste caso o primeiro termo é positivo e a serie começa em n = 7 , então o nosso padrão é

a n = - 1 n + 1 4 n

Passo 3

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada.

Para a primeira regra b n + 1 < b n , temos que analisar se

4 n + 1 < 4 n

De fato isso é verdade, já que temos um mesmo numerador, e a fração da esquerda tem um denominador maior, essa fração vale menos.

Passo 4

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 4 n = 0

Como a série obedece as duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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