Enunciado

Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?

∑ n = 1 ∞ - 1 3 n n             ( e r r o < 0,0005 )

Passo 1

A gente pode ver que nossa é tem termos com sinais alternados. Então, os testes de convergência que aprendemos até aqui não se aplicam mais, uma vez que eles só funcionavam para séries com termos positivos! Esse tipo de série retratada aqui é chamada de série alternada e segue o formato

a n = - 1 n - 1 b n                   o u                     a n = - 1 n b n

onde b n é um número positivo. O Teste da Série Alternada diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, então a série converge.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 1 n   ⋅ 3 n

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada converge se:

  1. b n é uma sequência decrescente;
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

Temos que b n = 1 n 3 n . Vamos verificar se as condições mencionadas acima são atendidas.

  1. O valor de b n = 1 n 3 n é decrescente, uma vez que o valor do denominador cresce à medida que o valor de n cresce
  2. Vamos agora ver como fica o limite!

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 n = 0

Logo, a segunda condição também foi satisfeita. Assim, como as condições atendidas, podemos dizer que a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n e - n converge!

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor de n tal que b n < 0,0005 , ou seja,

1 n 3 n < 0,0005

n 3 n > 2000

Por tentativa e erro, vamos estimar o valor de n :

  • n = 4 : b 4 = 4 ⋅ 3 4 = 324
  • n = 5 : b 5 = 5 ⋅ 3 5 = 1215
  • n = 6 : b 6 = 6 ⋅ 3 6 = 4374   > 2000

n = 6   é o menor número para qual a inequação é satisfeita. Logo, n = 6 é o menor número que o erro se torna menor que 0,0005 . Portanto, precisamos adicionar os cinco primeiros termos da série para aproximar a soam parcial com a precisão dada.

Resposta

Nós precisamos adicionar os primeiros cinco termos da série para aproximar a soma parcial com a precisão dada.

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Quantos termos da série precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?26- ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n e r r o0.002