Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 6 + 1 ln ⁡ 7 + …

Passo 1

A gente pode ver que nossa é tem termos com sinais alternados. Então, os testes de convergência que aprendemos até aqui não se aplicam mais, uma vez que eles só funcionavam para séries com termos positivos! Esse tipo de série retratada aqui é chamada de série alternada e segue o formato

a n = - 1 n - 1 b n                   o u                     a n = - 1 n b n

onde b n é um número positivo. O Teste da Série Alternada diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, então a série converge.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 6 + 1 ln ⁡ 7 + …

Podemos reescrever essa série da seguinte forma:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ 1 l n ⁡ ( n + 2 )

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada converge se:

  1. b n é uma sequência decrescente.
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0 ;

Temos que b n = 1 ln ⁡ ( n + 2 ) . Vamos verificar se as condições mencionadas acima são atendidas.

  1. b n = 1 ln ⁡ ( n + 2 ) é, de fato, decrescente porque o denominador cresce conforme o valor de n cresce!
  2. Vamos ver o limite agora.

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n + 2 = 0 ,   d e u   c e r t o   t a m b é m !

Como as duas condições foram atendidas, podemos dizer que, pelo Teste da Série Alternada, a série converge!

Resposta

A série converge!

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Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n e - 2 n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 2 + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1