Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

1 2 - 1 3 + 1 4 - 1 5 + 1 6 - …

Passo 1

A série alternada converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo ele da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de b n é

b n = 1 n ,   ∀ n ≥ 2

Agora basta ver qual o padrão do sinal, neste caso o primeiro termo é positivo e a serie começa em n = 2 , então o nosso padrão é

a n = - 1 n 1 n

Passo 3

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada.

Para a primeira regra b n + 1 < b n , temos que analisar se

1 n + 1 < 1 n

De fato isso é verdade, já que temos um mesmo numerador e a fração da esquerda tem um denominador maior, então essa fração vale menos.

Passo 4

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Como a série obedece as duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada? ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 2 ne r r o r0,0005
Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 4 n