Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.5 - Ex. 26

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Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   e r r o r < 0,00005

Passo 1

Sabemos que o n -ésimo termo de uma série alternada possui a seguinte forma:

a n = - 1 n - 1 b n

ou

a n = - 1 n b n

Onde b n é um número positivo.

Logo, ao analisar a série dada pelo problema e reescrevendo da forma mostrada abaixo, vemos que se trata de uma série alternada

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n n

Onde

b n = 1 n n

Devemos mostrar que a a série é convergente e determinar o número de termos   que precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão de e r r o r < 0,0 0 005 .

Passo 2

Primeiramente, vamos mostrar que a série é convergente.

Para isso, utilizaremos o Teste da Série Alternada. Neste teste, a série deve satisfazer as seguintes condições:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Vamos iniciar pela condição ( i ) :

b n + 1 ≤ b n

1 n + 1 n + 1 ≤ 1 n n

Onde o denominador n + 1 n + 1 ≥ n n .

Como o denominador em b n + 1 é maior que em b n e o valor do numerador é igual para ambos, o valor de b n + 1 será menor que o de b n . Logo, satisfaz a condição.

Em seguida, vamos verificar a condição ( i i ) :

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ 1 n n =   ?

Podemos ver que o denominador tenderá para quando n → ∞ . O valor de 1 dividido por um número muito grande como tenderá à zero. Logo, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n n = 0

Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Como as duas condições foram satisfeitas, nossa série é convergente!!

Passo 3

Neste passo, vamos determinar o número de termos   que precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão de e r r o r < 0,0 0 005 .

Para isso, vamos utilizar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. Este teorema nos diz que, se uma série s = ∑ - 1 n - 1 b n for uma série alternada que satisfaz as condições i e ( i i ) , o erro envolvido será o resto R n definido por

R n = s - s n ≤ b n + 1

O enunciado nos deu o valor do erro, logo temos que

R n = 0,00 0 05 ≤ b n + 1

Para descobrir o número de termos, temos que encontrar o valor em que b n + 1 se torna maior que 0,0 0 005 .

Temos que, para n ≥ 1 , b n + 1 é igual a:

b 2 = 1 2 2 = 1 4 = 0 , 25

b 3 = 1 3 3 = 1 27 = 0,037

b 4 = 1 4 4 = 1 256 = 0,0039

b 5 = 1 5 5 = 1 3125 = 0,00032

b 6 = 1 6 6 = 1 46656 = 0,000 021

Vemos que a partir de b 6 o valor será menor que o erro definido pelo enunciado.

Logo, temos que o número de termos somados para atender o pedido da questão será de

n = 5

Resposta

n = 5

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