Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

- 1 3 + 2 4 - 3 5 + 4 6 - 5 7 + …

Passo 1

A série alternada converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Para analisarmos, precisamos saber qual o termo geral, sendo ele da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

No caso da nossa série, podemos ver que o padrão de b n é

b n = n n + 2 ,   ∀ n ≥ 1

Agora basta ver qual o padrão do sinal, neste caso o primeiro termo é negativo e a serie começa em n = 1 , então o nosso padrão é

a n = - 1 n n n + 2

Passo 3

Para essa série, podemos ver de cara que lim n → ∞ ⁡ b n ≠ 0 , então basta que calculemos este limite, para provar que a série desobedece a regra 2 do teste da série alternada.

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n n + 2

Colocando n em evidencia

lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 n = 1

Logo a série diverge.

Resposta

Diverge.

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Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n e - 2 n
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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 2 + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1