Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 2 + 1  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui forma

∑ - 1 n b n

característica de uma série alternada.

Neste caso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar sua convergência.

Passo 2

No Teste da Série Alternada, a série deve satisfazer as seguintes condições:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

O valor de b n é

b n = n 2 - 1 n 2 + 1

Analisando a condição i :

b n + 1 ≤ b n

( n + 1 ) 2 - 1 ( n + 1 ) 2 + 1 ≤ n 2 - 1 n 2 + 1

Para verificar se esta relação é verdadeira e b n é decrescente, vamos supor o valor de n = 2 e n = 10 .

Para n = 2 :

( 2 + 1 ) 2 - 1 ( 2 + 1 ) 2 + 1 ≤ 2 2 - 1 2 2 + 1

8 10 ≤ 3 5     é   f a l s o

Para n = 10 :

( 10 + 1 ) 2 - 1 ( 10 + 1 ) 2 + 1 ≤ 10 2 - 1 10 2 + 1

120 122 ≤ 99 1 01     é   f a l s o

Logo, não satisfaz a condição.

Em seguida, vamos verificar a condição ( i i ) :

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 n 2 + 1 =   ?

Dividindo o numerador de denominador por n 2 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 / n 2 1 + 1 / n 2 = 1

Portanto, a segunda condição também não é satisfeita.

Passo 3

Como as condições não foram satisfeitas, vamos olhar para o n -ésimo termo da série e aplicar o Teste da Divergência.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n n 2 - 1 n 2 + 1

Dividindo o numerador e denominador por n 2 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 1 - 1 / n 2 1 + 1 / n 2 ≠ 0

Podemos ver que esse limite existe, porém será diferente de zero.

Portanto a série é divergente.

Resposta

Divergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ π n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 1 + 2 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n 3 + 4
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 10 n