Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 3 + 1  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui forma

∑ - 1 n b n

característica de uma série alternada.

Neste caso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar sua convergência.

Passo 2

No Teste da Série Alternada, a série deve satisfazer as seguintes condições:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

O valor de b n é

b n = n 2 - 1 n 3 + 1

Analisando a condição i :

b n + 1 ≤ b n

( n + 1 ) 2 - 1 ( n + 1 ) 3 + 1 ≤ n 2 - 1 n 3 + 1

Para verificar se esta relação é verdadeira e b n é decrescente, vamos supor o valor de n = 2 e n = 10 .

Para n = 2 :

( 2 + 1 ) 2 - 1 ( 2 + 1 ) 3 + 1 ≤ 2 2 - 1 2 3 + 1

8 28 ≤ 3 9     é   v e r d a d e i r o

Para n = 10 :

( 10 + 1 ) 2 - 1 ( 10 + 1 ) 3 + 1 ≤ 10 2 - 1 10 3 + 1

120 1332 ≤ 99 1001     é   v e r d a d e i r o

Logo, satisfaz a condição.

Em seguida, vamos verificar a condição ( i i ) :

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 n 3 + 1 =   ?

Dividindo o numerador de denominador por n 3 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 / n - 1 / n 3 1 + 1 / n 3 = 0

Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Como as duas condições foram satisfeitas, nossa série é convergente!!

Resposta

convergente

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n + 4
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n
(a) O que é uma série alternada? (b) Sob que condições uma série alternada converge? (c) Se essas condições forem satisfeitas, o que você pode dizer sobre o resto depois de n termos?
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n