Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui a n como uma função algébrica de n envolvendo raízes e polinômios. Nestes casos, a melhor opção costuma ser a comparação com uma série p .

Vamos utilizar o Teste de Comparação de Limite.

Passo 2

Vamos definir a série p com a qual iremos comparar a série dada pelo enunciado.

Na série dada, temos no numerador o termo dominante n 4 = n 2 e no denominador o termo dominante n 3 . Portanto, a série para comparação será

∑ b n = n 4 n 3 = n 2 n 3 = 1 n

Esta é uma série harmônica e divergente.

Passo 3

O Teste de Comparação de Limite é definido como

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Onde c é um número finito e maior que zero.

Temos que

a n = n 4 + 1 n 3 + n

b n = 1 n

Logo,

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n 4 + 1 n 3 + n n

Dividindo o numerador e denominador por n 3 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ n 4 + 1 1 + 1 / n 2 1 n 2

Vamos manipular ainda mais e colocar o valor de ( 1 / n 2 )   para dentro da raíz como ( 1 / n 4 ) , obtendo

lim n → ∞ ⁡ n 4 / n 4 + 1 / n 4 1 + 1 / n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 4 1 + 1 / n 2 = 1

Portanto, temos que

c = 1 > 0

Como a série ∑ b n é divergente, a série dada pelo enunciado também será divergente.

Resposta

divergente

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