Enunciado

75. Texto. Seja f uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] eseja x * o ponto garantido pelo Teorema do Valor Médio para Integrais. Explique geometricamente por que f   ( x * ) pode ser interpretado como um “valor médio” de f ( x )   e m   [ a ,   b ] .

Passo 1

Antes de pensar no porque pode ser visto como valor médio, temos que entender o que é o valor médio.

Quando tomamos a média de vários valores, é como se juntássemos todas as quantidades de n valores e dividíssemos em quantidades iguais para esses mesmo n , isto é ∑ i = 1 n x i n .Agora vamos pensar no que seria tomar a média de uma integral. A integral nada mais é que a soma de várias áreas ao longo de um intervalo. Para cada ponto desse intervalo temos uma área associada a esse ponto, então se quisermos tomar uma média, devemos somar as áreas de cada elemento nesse intervalo(o que corresponde a nossa integral) e depois dividir pela quantidade de elementos(o que nesse caso corresponde ao tamanho do intervalo).

Matematicamente teremos:

v m = ∫ a b f x d x b - a

Neste processo de tomar o valor médio, nós queremos que cada ponto do intervalo esteja associado a uma mesma quantidade de área e isso é semelhante a construir um quadrado onde a base é b - a e a altura é v m , o valor médio da função. Quando manipulamos a formula do valor médio, vemos que ele realmente representa a área de um quadrado e também vemos que a área de curva não se altera, mas é apenas redistribuida em partes iguais: v m = ∫ a b f x d x b - a ↔ v m b - a = ∫ a b f x d x

Resposta

Texto acima.

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