Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos Exercícios 1-6:

1)

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 d z   r   d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba? Vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo.

Dessa vez precisamos resolver a integral em coordenadas cilíndricas. Vamos lembrar que as coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas ficam:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

Além disso, temos que:

d x   d y   d z = r   d r   d θ   d z

Com isso, vamos resolver o problema!

Passo 2

O primeira passo é a gente organizar nossa integral, temos o seguinte:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 r   d z   d r   d θ

Resolvendo a primeira integral, de dentro para fora, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r   d r   d θ

Essa segunda integral parece um pouco complicada. Vamos resolvê-la separada.

Passo 3

∫ 0 1 ( r 2 - r 2 - r 2 )   d r

Vamos fazer uma pequena substituição, na primeira parcela, do tipo:

u = 2 - r 2

Com isso, temos:

d u =   - 2 r   d r

Além disso, vamos trocar nossos limites de integração:

r = 0 ;     u = 2

r = 1 ;     u = 1

Dessa forma a primeira parcela será:

∫ 2 1 - 1 2 u   d u = - 1 2 2 3 u 3 2 2 1

Avaliando os limites de integração temos:

- 1 3 - - 1 3 2 2 = 2 2 - 1 3

A segunda parcela da integral se torna:

∫ 0 1 r 2   d r = r 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração, temos:

1 3

Resolvendo, finalmente, a nossa integral, temos:

∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 2   d r = 2 2 - 1 3 - 1 3

Isso é:

∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 2   d r = 2 2 - 2 3

Passo 4

Agora, avaliando pro nosso problema, teremos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r 2 - r 2 - r 2 )   d r d θ = ∫ 0 2 π 2 2 - 2 3   d θ

Resolvendo essa integral agora fica bem fácil, já que ninguém ali depende de θ ! Temos então que:

∫ 0 2 π 2 2 - 2 3   d θ = 2 π ⋅ 2 3 2 - 1

Resolvendo, temos:

4 π 3 2 - 1

Prontinho!

Resposta

4 π 3 2 - 1

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