Enunciado

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 ∫ 0 2 π r   s e n θ + 1 r   d θ   d z   d r

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 ∫ 0 2 π r 2   s e n θ + r   d θ   d z   d r

Passo 2

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 (   r 2 ∫ 0 2 π s e n θ   d θ + r ∫ 0 2 π d θ   )     d z   d r

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 ( r 2 cos ⁡ θ 0 2 π + r θ 0 2 π )   d z   d r

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 2 π r   d z   d r

Passo 3

∫ 0 2 2 π r z r - 2 4 - r 2   d r

∫ 0 2 2 π r   4 - r 2 - r - 2 d r

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

( 2 π ∫ 0 2 r 4 - r 2   d r - 2 π ∫ 0 2 r r - 2 d r )  

E novamente usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

( 2 π ∫ 0 2 r 4 - r 2   d r - 2 π ( ∫ 0 2 r 2   d r - 2 ∫ 0 2 r   d r )   )  

Para o primeiro termo de d r , façamos u = 4 - r 2 , logo temos que d u = - 2 r d r de modo que d r = - d u 2 r e temos que quando r = 0 .   u = 4 e r = 2 ,   u = 0 . Assim:

( 2 π ∫ 4 0 - u 2   d u - 2 π (   ∫ 0 2 r 2 d r - 2 ∫ 0 2 r   d r )   )  

( π ∫ 4 0 - u   d u - 2 π ( ∫ 0 2 r 2 d r - 2   ∫ 0 2 r   d r )   )  

Aplicando a propriedade de que ∫ a b f x d x =   -   ∫ b a f x d x

( - π ∫ 0 4 - u   d u - 2 π ( ∫ 0 2 r 2 d r -   2 ∫ 0 2 r   d r )   )

π 2 3 u 3 2 0 4 - 2 π 1 3 r 3 0 2 - r 2 0 2

8 π

Resposta

8 π

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