Enunciado

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 2 π ( r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 )   r   d θ   d r   d z

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 2 π ( r 3 cos 2 ⁡ θ + r z 2 )   d θ   d r   d z

À princípio parece difícil, mas cola comigo que vamos que que não é :P

Passo 2

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 1 ∫ 0 z ( r 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ + r z 2 ∫ 0 2 π d θ )   d r   d z

Lembremos que cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

∫ 0 1 ∫ 0 z (   r 3 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ d θ + r 3 2 ∫ 0 2 π d θ + r z 2 ∫ 0 2 π d θ )   d r   d z  

Usando que c o s ∫ ⁡ a x = 1 a s e n ( a x )

∫ 0 1 ∫ 0 z ( r 3 2 ( 1 2 [ s e n 2 θ ) 0 2 π + r 3 2 θ 0 2 π + r z 2 θ 0 2 π )     d r   d z

∫ 0 1 ∫ 0 z π r 3 + 2 r z 2 d r   d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

Passo 3

∫ 0 1 ∫ 0 z π r 3 + 2 r z 2 d r   d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 1 ( π ∫ 0 z r 3   d r + 2 π z 2 ∫ 0 z r     d r )   d z

∫ 0 1 π 4 r 4 0 z + π z 2 r 2 0 z d z

∫ 0 1 π z 2 4 + z 3 d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

π 4 ∫ 0 1 z 2   d z + π ∫ 0 1 z 3   d z  

π 12 z 3 0 1 + π 4 z 4 0 1

π 3

Viu só que fácil :P

Resposta

π 3

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