Enunciado

Depois de tomar um comprimido de antibiótico, a concentração do antibiótico na corrente sanguínea é modelado pela função

C t = 8 ( e - 0,4 t - e - 0,6 t )

onde o tempo t é medido em horas e C é medido em μ g / m L . Qual é a concentração máxima do antibiótico durante as primeiras 12 horas?

Passo 1

Fala… belezinha?? O enunciado nos da uma função que modela a concentração de concentração do antibiótico na corrente sanguínea de uma pessoa após tomar um comprimido antibiótico:

C t = 8 ( e - 0,4 t - e - 0,6 t )

Aqui a concentração varia com o tempo e é dada em μ g / m L .

Falando assim parece complicado, mas essa é uma questão onde precisamos achar o(os) pontos críticos da função, pra assim chegar no ponto de máximo!

Passo 2

Nessa questão vamos precisar derivar essa função aí:

C t = 8 ( e - 0,4 t - e - 0,6 t )

E igualar a derivada a zero. Daí conseguimos achar qual é o tempo em que a concentração é máxima.

Daí depoooois substituímos esse tempo na função e achamos a concentração máxima.

Passo 3

Bora derivar, então:

C ' t = 8 - 0,4 e - 0,4 t - - 0,6 e - 0,6 t

C ' t = 8 0,6 e - 0,6 t - 0,4 e - 0,4 t

Passo 4

Agora a gente iguala a zero, a derivada, pra achar o tempo no ponto crítico, que, no nosso caso, é a concentração máxima:

C ' t = 0

8 0,6 e - 0,6 t - 0,4 e - 0,4 t = 0

0,6 e - 0,6 t - 0,4 e - 0,4 t = 0

0,6 e - 0,6 t = 0,4 e - 0,4 t

3 e - 0,6 t = 2 e - 0,4 t

Isso está meio feio, né?? Como tem esse e dos dois lados, vamos aplicar logaritmo natural que aí, pelo menos, a gente desce os t :

ln ⁡ 3 e - 0,6 t = ln ⁡ 2 e - 0,4 t

Atenção nas propriedades de log, heimm?

ln ⁡ 3 + ln ⁡ e - 0,6 t = ln ⁡ 2 + ln ⁡ e - 0,4 t

ln ⁡ 3 + - 0,6 t ln ⁡ e = ln ⁡ 2 + - 0,4 t ln ⁡ e

Oh… ln ⁡ e = 1 , lembra?

ln ⁡ 3 - 0,6 t = ln ⁡ 2 - 0,4 t

0,6 t - 0,4 t = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

0,2 t = ln ⁡ 3 2

t = 1 0,2 ln ⁡ 3 2

t = 5 ln ⁡ 3 2

Passo 5

Boom… Mesmo que o tempo não seja um número bonitinho, mas achamos e bora jogar na função da concentração e achar a concentração máxima, quando t = 5 ln ⁡ 3 2 :

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 e - 0,4 5 ln ⁡ 3 2 - e - 0,6 5 ln ⁡ 3 2

Nossaaaa… ficou feio, mas calma, calma, calma…

Vamos manipular essas coisas:

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 e - 2 ln ⁡ 3 2 - e - 3 ln ⁡ 3 2

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 e - 2 ln ⁡ 3 2 - e - 3 ln ⁡ 3 2

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 e ln ⁡ 3 2 - 2 - e ln ⁡ 3 2 - 3

Lembra também que e ln ⁡ c = c ?

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 3 2 - 2 - 3 2 - 3

Invertendo pra deixar os expoentes positivos:

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 2 3 2 - 2 3 3

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 2 3 2 1 - 2 3

C 5 ln ⁡ 3 2 = 8 2 3 2 1 3

C 5 ln ⁡ 3 2 = 32 27  

Não vamos esquecer as unidades, heim!?

C m á x = 32 27   μ g / m L

C m á x = 1,185   μ g / m L

Ufaaa… deu um trabalhinho, mas acabamos. Bora pra próxima?

Resposta

C m á x = 1,185   μ g / m L

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