Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 82
Duas fontes de luz de igual potência estão colocadas a uma da outra. Um objeto deve ser colocado em um ponto sobre uma reta paralela à reta que une as fontes de luz a uma distância metros dela (veja a figura). Queremos localizarem de forma que a intensidade de iluminação seja minimizada. Precisamos usar o fato de que a intensidade de iluminação para uma única fonte é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte.
(a) Encontre uma expressão para a intensidade em um ponto.
(b) Se , use os gráficos depara mostrar que a intensidade é minimizada quando , isto é, quando está no ponto médio de .
(c) Se , mostre que a intensidade (talvez surpreendentemente) não é minimizada no ponto médio.
(d) Em algum ponto entre e existe um valor de no qual o ponto de iluminação mínima muda abruptamente. Estime esse valor de por métodos gráficos. Encontre então o valor exato de .
Passo 1
(a )
Acrescentando das fontes da direita e esquerda:
Passo 2
(b ) O tamanho da constante não afetará a localização do ponto de máxima intensidade, então, por conveniência nós vamos usar que .
Substituindo em e em nós temos
Pelo gráfico parece que tem seu mínimo em .
Passo 3
(c ) Substituindo em e em nós temos
Pelos gráficos, parece que a intensidade é minimizada para nas extremidade e . O ponto médio é agora o ponto mais iluminado.
Passo 4
(d ) Pelas primeiras figuras nas respostas (b) e (c), vemos que a iluminação mínima muda do ponto média ( com ) para os pontos extremos, ( e com ), então, se tentarmos :
nós vemos que o valor mínimo ainda acontece em . Agora, se tentarmos :
nós temos valores mínimos no ponto médio e nos pontos extremos, então, deve se igualar a . Para encontrar esse valor de , nós resolvemos (com ):
A terceira figura, um gráfico de com independente, confirma que , logo, , quando :
Então, o ponto de menor iluminação muda abruptamente do ponto médio para os pontos extremos quando
Resposta
- .
- Resposta nos gráficos.
- Resposta nos gráficos.
- .