Enunciado

Duas fontes de luz de igual potência estão colocadas a 10   m uma da outra. Um objeto deve ser colocado em um ponto P   sobre uma reta l paralela à reta que une as fontes de luz a uma distância d   metros dela (veja a figura). Queremos localizar   P   em l de forma que a intensidade de iluminação seja minimizada. Precisamos usar o fato de que a intensidade de iluminação para uma única fonte é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte.

(a) Encontre uma expressão para a intensidade I ( x ) em um ponto   P .

(b) Se d = 5   m , use os gráficos de   I ( x )   e   I ' ( x )   para mostrar que a intensidade é minimizada quando x = 5   m , isto é, quando   P está no ponto médio de l .

(c) Se d = 10   m , mostre que a intensidade (talvez surpreendentemente) não é minimizada no ponto médio.

(d) Em algum ponto entre d = 5   m e d = 10   m existe um valor de d   no qual o ponto de iluminação mínima muda abruptamente. Estime esse valor de d   por métodos gráficos. Encontre então o valor exato de d .

Passo 1

(a ) I x ∝ f o r ç a   d a   f o n t e d i s t â n c i a   d a   f o n t e 2

Acrescentando das fontes da direita e esquerda:

I x = k x 2 + d 2 + k ( 10 - x ) 2 + d ² = k x 2 + d 2 + k x 2 - 20 x + 100 + d 2

Passo 2

(b ) O tamanho da constante k não afetará a localização do ponto de máxima intensidade, então, por conveniência nós vamos usar que k = 1 .

I ' x = - 2 x x 2 + d 2 2 - 2 x - 10 x 2 - 20 x + 100 + d 2 2

Substituindo d = 5 em I x e em I ' ( x ) nós temos

I 5 x = 1 x 2 + 25 + 1 x 2 - 20 x + 125

I 5 ' x = - 2 x x 2 + 25 2 - 2 x - 10 x 2 - 20 x + 125 2

Pelo gráfico parece que I 5 x tem seu mínimo em x = 5 m .

Passo 3

(c ) Substituindo d = 10 em I x e em I ' ( x ) nós temos

I 10 x = 1 x 2 + 100 + 1 x 2 - 20 x + 200

I 5 ' x = - 2 x x 2 + 100 2 - 2 x - 10 x 2 - 20 x + 200 2

Pelos gráficos, parece que a intensidade é minimizada para d   =   10 nas extremidade x = 0 e x = 10 . O ponto médio é agora o ponto mais iluminado.

Passo 4

(d ) Pelas primeiras figuras nas respostas (b) e (c), vemos que a iluminação mínima muda do ponto média ( x = 5 com d = 5 ) para os pontos extremos, ( x = 0 e x = 10 com d = 10 ), então, se tentarmos d = 6 :

nós vemos que o valor mínimo ainda acontece em x = 5 . Agora, se tentarmos d = 8 :

nós temos valores mínimos no ponto médio e nos pontos extremos, então, I 5 deve se igualar a I 0 . Para encontrar esse valor de d , nós resolvemos I 0 = I 5 (com k = 1 ):

1 d 2 + 1 100 + d 2 = 1 25 + d 2 + 1 25 + d 2 = 2 25 + d 2

25 + d 2 100 + d 2 + d 2 25 + d 2 = 2 d 2 100 + d 2

2500 + 125 d 2 + d 4 + 25 d 2 + d 4

2500 = 50 d 2

d 2 = 50

d = 5 2 ≈ 7,071   ,   0 ≤ d ≤ 10

A terceira figura, um gráfico de I 0 - I ( 5 ) com d independente, confirma que   I 0 - I 5 = 0 , logo, I 0 = I ( 5 ) , quando d = 5 2 :

Então, o ponto de menor iluminação muda abruptamente do ponto médio para os pontos extremos quando d = 5 2 .

Resposta

  1. I x = k x 2 + d 2 + k x 2 - 20 x + 100 + d 2 .
  2. Resposta nos gráficos.
  3. Resposta nos gráficos.
  4. d = 5 2 .
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