Enunciado

Como deve ser escolhido o ponto P sobre o segmento A B de forma a maximizar o ângulo θ ?

Passo 1

E aí, galerinha! 😎

Nesse problema temos que determinar o ponto P sobre o segmento A B de forma a maximizar o ângulo θ na figura do enunciado.

Parece complicado? 😇

Precisamos preencher a figura que nos foi dada com outras informações para conseguirmos visualizar melhor:

Veja só! 😐

Passo 2

O que o exercício pede é o valor máximo de θ , então temos que colocá-lo em alguma fórmula, fazer ele depender de apenas uma variável e pronto, a gente pode maximizá-lo. Conseguimos colocar θ em:

θ + α + β = 180 ° = π

θ = π - α - β

Precisamos isolar α e β , então:

tan ⁡ α = 5 x   ,   tan ⁡ β = 2 3 - x

Substituindo em θ :

θ = π - tan - 1 ⁡ 5 x - tan - 1 ⁡ 2 3 - x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Tendo θ dependendo de apenas uma variável, vamos maximizá-lo:

d θ d x = - 1 1 + 5 x 2 - 5 x 2 - 1 1 + 2 3 - x 2 2 3 - x 2 = 0

d θ d x = x 2 x 2 + 25 5 x 2 - 3 - x 2 3 - x 2 + 4 2 3 - x 2 = 0  

5 x 2 + 25 = 2 x 2 - 6 x + 13

2 x 2 + 50 = 5 x 2 - 30 x + 65

3 x 2 - 30 x + 15 = 0

x 2 - 10 x + 5 = 0

x = 5 ± 2 5

Como x tem que variar entre 0 e 3 , que é o tamanho de A B , a única raiz possível é

  x = 5 - 2 5 , então, a posição de P que maximiza θ   é:

A P = x = 5 - 2 5 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

A posição de P que maximiza θ   é:

A P = x = 5 - 2 5 .

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